1(10分)設 是互不相同的整數,求證多項式
在整系數多項式環中不可約。
2(10 分) 設 ,求 有重根的條件。
3 (10分)記
求 的根。
4(10分)(1)設 , 。求 ;
(2)求 ,其中 。
5(15分)設 是 階方陣 的伴隨矩陣。證明:當 時, ;當 時, ;當 時, 。
6(10分)設 為 階方陣, 為正整數,線性方程組 有解向量 且 。證明:向量組 線性無關.
7(10分)求下面向量組的秩和一個極大線性無關組,并將其余向量用該極大線性無關組表示:
。
8(10分)若下面線性方程組有解,常數應滿足什么條件?
9(15分)已知矩陣
有特征值 ,矩陣 。其中 為實數, 為單位陣。
(1) 求 ,并說明 是否可以對角化;
(2) 矩陣 是否可以對角化,若能,求對角矩陣 ,使 .
10(15分)已知 均為三階非零矩陣,且
(1) 證明 與 的特征值只能是0或1;并且0和1必是 與 的特征值;
(2) 若 是 關于 的特征向量,則 必是矩陣 關于 的特征向量。
11(15分)設
(1) 用正交變換化此二次型為標準型,并寫出所有的正交變換;
(2) 是否有可逆矩陣 ,使得 。其中 是原二次型的矩陣。若有,求出它;若無,說明理由。
12 (20分)設 為有理數域上的三維向量空間, 為 到 的線性變換。若對 ,有 ,證明 線性無關。
數學分析
一、(20)設 在 上連續并且單調遞減,證明函數
在 上單調遞減。
二、(20)設 , ,證明極限 存在并求之。
三、(20)設 是 個正實數,求 。
四、(10)區間上的連續函數如果在任何有理點上為零,證明此函數恒為零。
五、(20)證明 。
六、(20)研究函數 的連續性及可微性。
七、(20)求正向簡單閉曲線 使積分 最大,并求出最大值。
八、(每小題10分,共20)
設 為平面上一個有界閉集,連續函數 將 一對一映為平面上點集 ,證明
(1) 也是有界閉集
(2) 的逆映射也是連續函數。
------------------鄭州大學2009年高等代數考研真題試卷